Μονοτονία – Θεωρία

Μια συνάρτηση f ορίζεται σε διάστημα Δ και υπάρχουν x₁, x₂∈Δ με  x₁<x₂ τέτοια ώστε  f(x₁)<f(x₂). Τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ συνάρτηση.

Για μια συνάρτηση f:A→ℝ ισχύει για κάθε  x₁, x₂∈ℝ με  x₁<x₂ η σχέση  f(x₁)<f(x₂). Τότε η f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση.

Αν για κάθε α, β ενός διαστήματος Δ με α>β ισχύει f(α)<f(β), τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.

Μια άρτια συνάρτηση δεν μπορεί να είναι γνησίως μονότονη.

Η f είναι γνησίως μονότονη στο ℝ. Τότε η εξίσωση f(x)=0 έχει μια και μόνο λύση στο ℝ.

Για κάθε γνησίως μονότονη στο ℝ συνάρτηση f υπάρχει πάντα κάποιος αριθμός k∈ℝ τέτοιος ώστε η εξίσωση f(x)=k να έχει μοναδική λύση στο ℝ.

Σε μια αύξουσα σε διάστημα Δ συνάρτηση f είναι δυνατόν να υπάρχουν α, β∈Δ με α<β τέτοια ώστε f(α)=f(β).

Μια συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το ℝ και παρουσιάζει σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της θετική κλίση. Τότε η f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση.